%@P:exocorcp %@Auteur:\url{http://serge.mehl.free.fr/exos/proba2.html}\par Un sac opaque contient 9 jetons numérotées de 1 à 9, indiscernables au toucher : c'est dire que chaque jeton tiré du sac à la même probabilité d'apparaître. En procédant à trois tirages successifs d'un jeton sans remettre un jeton précédemment tiré, on s'intéresse à la formation de nombres de 3 chiffres : le chiffre des centaines étant le 1er jeton tiré, le chiffre des dizaines est le second, le chiffre des unités est le dernier. Par exemple, si on sort le 8 puis le 1 puis le 4, on formera 814. \begin{myenumerate} \item Recopie et complète les phrases suivantes (aucune justification n'est demandée) : \begin{quote} Au 1\ier\ tirage, il y a \dotfill possibilités pour le chiffre des \dotfill \`A chacun de ces \dotfill cas je peux associer \hbox to4cm{\dotfill} possibilités pour le choix des dizaines car on ne \dotfill pas le 1\ier\ jeton dans le \dotfill Ceci me donne déjà $\ldots\ldots\times\ldots\ldots=\ldots\ldots$ possibilités de formation des deux premiers chiffres. Au 3\ieme\ tirage, il me reste \hbox to2cm{\dotfill} jetons dans le sac. Par conséquent à chacun des \dotfill cas déjà dénombrés, je peux associer \dotfill tirages possibles. J'ai donc en tout $\ldots\times\ldots=504$ possibilités de former un nombre de \dotfill chiffres. \end{quote} {\em \textdbend Dans toute la suite, on donnera les probabilités sous forme de fractions irréductibles.} \item Les deux premiers tirages ont donné deux chiffres impairs. Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair au 3\ieme\ tirage ? \item Karim a procédé à un tirage des trois jetons et s'étonne d'avoir tiré 1-2-3 dans cet ordre. Quelle est donc la probabilité de tirer successivement trois chiffres consécutifs en croissant ou décroissant ? \item \`A quelle condition un nombre est-il divisible par 5 ? Quelle est la probabilité de former un nombre divisible par 5 ? \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item Au 1\ier\ tirage, il y a 9 possibilités pour le chiffre des centaines. \`A chacun de ces 9 cas je peux associer 8 possibilités pour le choix des dizaines car on ne remet pas le 1\ier\ jeton dans le sac. Ceci me donne déjà $9\times8=72$ possibilités de formation des deux premiers chiffres. Au 3\ieme\ tirage, il me reste 7 jetons dans le sac. Par conséquent à chacun des 72 cas déjà dénombrés, je peux associer 7 tirages possibles. J'ai donc en tout $72\times7=504$ possibilités de former un nombre de 3 chiffres. \item Au 3\ieme\ tirage, il reste 7 jetons dans le sac où 2 chiffres impairs ont été tirés. Il reste donc en particulier tous les chiffres pairs, à savoir : 2 4 6 8. Les jetons sont indiscernables au toucher. La probabilité cherchée est donc : \[p =\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}=\frac47\] \item Dénombrons les cas (favorables) où l'on obtient des chiffres consécutifs : il peuvent commencer par 1, ou 2, ou 3, ou\ldots, ou 7 en croissant : de 1 2 3 à 7 8 9 : 7 cas ou bien en sens inverse : 7 autres cas de 9 8 7 à 3 2 1 . La probabilité cherchée est donc : \[p=\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}=\frac{14}{504}=\frac1{36}\] (puisque $504 = 9 \times8\times7=36\times14$) \item Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. Il n'y a pas de zéro dans le sac. Par conséquent le dernier chiffre tiré doit être le 5 : le même raisonnement qu'à la question 1 conduit à dire qu'il y a $8\times7=56$ façons de tirer les deux premiers jetons ($8\times7$ et $9\times8$ car il ne faut pas tirer le 5 !). On peut donc former 56 nombres se terminant par 5. La probabilité cherchée est donc : \[p=\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}=\frac{56}{504}=\frac19\] (puisque $504=9\times8\times7=9\times56$) \end{myenumerate}