%@P:exocorcp %@Dif:4 Soit $D$ et $E$ les expressions suivantes : \[D=(4x+1)(x-3)-(x-3)^2\kern2cm E=(3x+9)^2-25\] \begin{myenumerate} \item Développe et réduis les expressions $D$ et $E$. \item Factorise les expressions $D$ et $F$. \item Résous l'équation $D=E$. \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item \[\Eqalign{ D&=(4x+1)(x-3)-(x-3)^2\kern2cm&E&=(3x+9)^2-25\cr D&=4x^2-12x+x-3-(x^2-6x+9)&E&=(3x)^2+2\times3x\times9+9^2-25\cr D&=4x^2-11x-3-x^2+6x-9&E&=9x^2+54x+81-25\cr D&=3x^2-5x-12&E&=9x^2+54x+56\cr }\] \item \[\Eqalign{ D&=(x-3)\times\left[(4x+1)-(x-3)\right]&E&=(3x+9)^2-5^2\cr D&=(x-3)\times(4x+1-x+3)&E&=(3x+9-5)(3x+9+5)\cr D&=(x-3)(3x+4)&E&=(3x+4)(3x+14)\cr }\] \item \[\Eqalign{ D&=E\cr (x-3)(3x+4)&=(3x+4)(3x+14)\cr (x-3)(3x+4)-(3x+4)(3x+14)&=0\cr (3x+4)\times\left[(x-3)-(3x+14)\right]&=0\cr (3x+4)\times(x-3-3x-14)&=0\cr (3x+4)\times(-2x-17)&=0\cr } \] C'est un produit qui est nul donc \[\Eqalign{ 3x+4&=0\kern1cm\mbox{ou}\kern1cm&-2x-17&=0\cr 3x&=-4&-2x&=17\cr x&=\frac{-4}3&x&=\frac{17}{-2}\cr }\] Les solutions de l'équation sont $x=-\dfrac43$ et $x=-\dfrac{17}2$. \end{myenumerate} %@Commentaire: Factorisations sous les deux formes classiques. La résolution de l'équation demande une certaine autonomie et de l'intuition.