exo76.tex

%@Auteur: Philippe De Sousa\par
{\itshape Le but de cet exercice est de déterminer la diagonale
$d$ d'un carré en fonction de son côté~$c$.}
 
Pour tout l'exercice, on utilisera la figure donnée ci-dessous.
 
\begin{enumerate}[\bfseries 1)]
\item {\itshape\textbf{Exemple numérique}}
\begin{multicols}{2}
On considère un carré de côté 4~cm.
 
\begin{enumerate}[\bfseries a)]
\item En utilisant un triangle rectangle qu'il faudra préciser,
calculer la valeur exacte de la longueur $AC$.
 
{\itshape \footnotesize Réponse. \quad $AC=\sqrt{32}$~cm.}
\item Donner la valeur arrondie au dixième de la longueur $AC$.
\end{enumerate}
\columnbreak\par\vspace{1cm}\par
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)
\psset{PointSymbol=none,RotAngle=60,SegmentSymbol=pstslashh,RightAngleSize=.2}
\pstGeonode[PosAngle={-135,-45,45,135}](0,0){A}(4,0){B}(4,4){C}(0,4){D}%
\pstSegmentMark{A}{B}\pstSegmentMark{B}{C}%
\pstSegmentMark{C}{D}\pstSegmentMark{A}{D}%
\pstRightAngle{B}{A}{D}\pstRightAngle{A}{D}{C}%
\pstRightAngle{D}{C}{B}\pstRightAngle{C}{B}{A}%
\psline{<->}(0,-0.25)(4,-0.25)%
\rput(2,-0.5){\makebox(0,0){{\small$c$}}}%
\rput(2,2.5){\makebox(0,0){\rotatebox{45}{$d$}}}%
\pstLineAB[linestyle=dashed]{A}{C}%
\end{pspicture}
\end{center}%
\end{multicols}
\item {\itshape\textbf{\'Ecriture littérale}}
 
On considère à présent un carré de côté $c$.
 
\begin{enumerate}[\bfseries a)]
\item Donner les valeurs de $AB^2$ puis de $BC^2$ en fonction de
$c$.
\item En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$,
démontrer que $AC^2 = 2 \times c^2.$
\item En s'aidant du résultat précédent, donner la valeur exacte de
la longueur $AC$.
\end{enumerate}
\item {\itshape\textbf{Quelques calculs}}
 
En utilisant la question précédente, calculer la longueur $d$ dans
les cas suivants : \[c = 2~\mbox{cm} \quad ; \quad c = 10~\mbox{cm} \quad ; \quad c = 3,5~\mbox{cm}.\]
\textbf{On donnera la valeur exacte puis l'arrondi au dixième.}
\end{enumerate}