On considère un triangle $ABC$, isocèle en $A$ tel que le côté $[AB]$ mesure 5~cm et le côté $[BC]$ mesure 8~cm. \\Soit $M$, le milieu du côté $[BC]$. La perpendiculaire à la droite $(AC)$ passant par $B$ coupe la droite $(AC)$ en $N$. \begin{myenumerate} \item Construis la figure en vraie grandeur. \item Que représente $(BN)$ pour le triangle $ABC$ ? Pourquoi ? \item Soit $\cal C$, le cercle circonscrit au triangle $ABN$. On désigne par $O$, le centre de ce cercle $\cal C$. \begin{enumerate} \item Démontre que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. \item Démontre que $O$ est le milieu du segment $[AB]$. \item Démontre que le point $M$ est sur le cercle $\cal C$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprime $\cos\widehat{BCN}$ dans le triangle $CNB$ rectangle en $N$. \item Calcule $\cos\widehat{BCN}$ dans le triangle $CAM$ rectangle en $M$. \item Déduis la longueur $CN$ des deux questions précédentes. \item Calcule $BN$. \item Donne une valeur approchée de l'angle $\widehat{BCN}$ à un degré près. \end{enumerate} \item Soit $P$, le symétrique du point $N$ par rapport au point $O$. Place le point $P$ et démontre que le quadrilatère $ANBP$ est un rectangle. \end{myenumerate}