%@metapost:gpe12001.mp %@Titre: Groupement 1 -- 2001 \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Ci-après, on a tracé le segment $[BC]$ tel que $BC=15$~cm.\par Placer un point $A$ tel que $AB=9$~cm et $AC=12$~cm. \item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer le milieu $M$ du segment $[BC]$. Tracer le cercle de diamètre $[AB]$. Ce cercle recoupe le segment $[BC]$ en $D$ et le segment $[AM]$ en $E$. \item Démontrer que les triangles $ABE$ et $ABD$ sont rectangles. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire le point $F$, symétrique du point $E$ par rapport au point $M$. \item Démontrer que le quadrilatère $BECF$ est un parallélogramme. \item En déduire que les droites $(BE)$ et $(CF)$ sont parallèles, et que les droites $(AF)$ et $(CF)$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et $(BE)$. Soit $K$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et $(CF)$. \begin{enumerate} \item Que représentent les droites $(AD)$ et $(BE)$ pour le triangle $ABM$ ?\par En déduire que les droites $(HM)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.\par Démontrer de même que les droites $(KM)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. \item On appelle $I$ le point d'intersection des droites $(AB)$ et $(MH)$. On appelle $J$ le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(KM)$.\par Démontrer que le quadrilatère $AIMJ$ est un rectangle.\par En déduire que le triangle $HMK$ est rectangle. \end{enumerate} \end{myenumerate} $$\includegraphics{gpe12001.4}$$ \par{\em Les dimensions ne sont pas respectées}