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%@Titre: Afrique -- 2001
\par\compo{1}{afrique2-2001}{1}{
\textit{Les deux parties peuvent être traitées séparément.}
 
$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que $AB=4$~cm, $BC=3$~cm et $AE=6$~cm.
 
Un point quelconque $S$ de l'arête $[AE]$ permet de définir :
\begin{itemize}
\item une pyramide $SABCD$ de hauteur $[SA]$, de base le rectangle $ABCD$ ;
\item une pyramide $SEFH$ de hauteur $[SE]$, de base le triangle rectangle $EFH$.
\end{itemize}
 
\textit{On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule :\\
$V=\dfrac{1}{3} \times$ aire de la base $\times$ hauteur.}
}
 
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}}
\end{center}
Dans cette partie, on pose $SA=x$~cm ($0 \leqslant x \leqslant 6$).
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du rectangle $ABCD$.
\item Exprimer en fonction de $x$ le volume $V_1$ de la pyramide $SABCD$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle $EFH$.
\item Exprimer la longueur $SE$ en fonction de $x$.
\item Montrer que le volume $V_2$ de la pyramide $SEFH$ est $(-2x+12)$~cm$^3$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $V_1=V_2$. Quelle est
  alors la valeur commune des volumes des pyramides $SABCD$ et $SEFH$
  ?
\item Soit un repère orthogonal où 1~cm sur l'axe des abscisses
  représente 1~cm et 1~cm sur l'axe des ordonnées représente 2~cm$^3$.
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement dans ce repère, et pour $0 \leqslant
  x\leqslant 6$, les fonctions définies par :
 
$V_1(x)=4x$ et $V_2(x)=-2x+12$.
\item Mettre en évidence sur le graphique le résultat de la question 3.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
 
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}}
\end{center}
 
Dans cette partie, $x=6$~cm, donc le point $S$ est confondu avec le point $E$.
 
On considère à présent la pyramide $EABCD$ de hauteur $[EA]$, de base le rectangle $ABCD$.
\begin{myenumerate}
\item Cette pyramide est coupée par un plan parallèle à son plan de base. La section plane obtenue est $A'B'C'D'$.
 
\textit{On rappelle que la pyramide $EA'B'C'D'$ est une réduction de la pyramide $EABCD$.}
 
On donne $EA'=2,4$~cm.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le coefficient de la réduction est égal à $\dfrac25$.
\item En déduire le volume $V'$ de la pyramide réduite $EA'B'C'D'$.
\item Calculer alors le volume $V''$ du tronc de pyramide restant.
\end{enumerate}  
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle fraction du volume total $V$ le volume $V''$ du tronc de pyramide représente-t-il ?
\item Exprimer cette fraction en pourcentage.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}