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Fichier TeX
Image PNG
%@metapost:poitiers2000.mp
%@Titre: Poitiers -- 2000
\small
\textit{ Les deux parties sont indépendantes.}
\par\compo{4}{poitiers2000}{1}{
\par Chargé de créer un espace vert, un paysagiste propose d'implanter
deux massifs de fleurs, l'un ayant la forme d'un triangle équilatéral
et l'autre celle d'un rectangle. Son projet est illustré sur le schéma
ci-contre :
\\$M$ est un point du segment $[AB]$.
\\De part et d'autre du segment $[AB]$ sont représentés :
\begin{itemize}
\item un triangle équilatéral $AMC$ ;
\item un rectangle $MDEB$.
\end{itemize}
\textit{L'unité de longueur est le mètre.}
\\On a $AB=13$ ; $BE=4$ et on note : $AM=x$.
}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A}}
\end{center}
Dans un premier projet, le paysagiste fixe $x=6$. On a donc $AM=6$ et $MB=7$.
\\On appelle $I$ le milieu du segment $[AC]$. Le paysagiste se demande
si les points $I$, $M$ et $E$ sont alignés.
\begin{myenumerate}
\item Quelle est la mesure en degrés de l'angle $\widehat{AMI}$ ?
  Justifier.
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{DME}$. En déduire une
  mesure à 0,1 degré près de l'angle  $\widehat{DME}$.
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Déduire des questions précédentes une mesure à 0,1 degré près
    de $\widehat{IME}$.
  \item Les points $I$, $M$ et $E$ sont-ils alignés ? Justifier.
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B }}
\end{center}
Souhaitant entourer par des bordures ces deux massifs, le paysagiste
s'intéresse à leurs périmètres en fonction de la longueur $AM=x$.
\begin{myenumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $AMC$. On
  appelle $f$ la fonction qui à $x$ associe ce périmètre.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $BM$ en fonction de $x$.
  \item On appelle $g$ la fonction qui à $x$ associe le périmètre du
    rectangle $MDEB$.\\Montrer que la fonction $g$ est définie par :
    $x\longmapsto 34-2x$.
  \end{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O;I,J)$. Sur une
  feuille de papier millimétré, on placera l'origine en bas à gauche
  de la feuille et on prendra comme unités graphiques :
  \begin{itemize}
  \item sur l'axe des abscisses : 1~cm pour 1 unité ;
  \item sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour 2 unités.
  \end{itemize}
 
\textit{On fera figurer les explications utiles pour effectuer les
  représentations graphiques demandées ci-dessous.}
  \begin{enumerate}
  \item Représenter graphiquement la fonction $f$ pour $0 \leqslant x
    \leqslant 13$.
  \item Sur le même graphique, représenter la fonction $g$ pour $0
    \leqslant x \leqslant 13$.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle les deux massifs ont
    le même périmètre.
  \item Vérifier graphiquement le résultat précédent : on tracera les
    pointillés utiles à la lecture.
  \end{enumerate}
\item Le paysagiste décide de n'entourer que le massif rectangulaire
  $MDEB$. Il dispose de 25~m de bordure.
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre l'inéquation : $34-2x \leqslant 25$.
  \item En déduire la plus petite valeur de $AM$ pour laquelle le
    paysagiste peut border complètement le massif rectangulaire.
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}