exo28.tex

%@metapost:paris2000.mp
%@Titre: Paris -- 2000
\small
Cette figure représente une fontaine en pierre ; il s'agit d'une
pyramide régulière $SABCD$ dans laquelle on a creusé une pyramide
$TABCD$ correspondant au bassin qui reçoit l'eau. $SABCD$ a pour base le
carré $ABCD$ de centre $O$, de côté $AB=6$~cm et pour hauteur $SO=9$.
 
\textit{Les longueurs sont données en {\em dm}.}
 
\par\compo{5}{paris2000}{1}{
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A }}
\end{center}
Dans cette partie, $OT=6$.
\begin{myenumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer le volume du bassin $TABCD$.
  \item Donner sa capacité en litres.
  \end{enumerate}
\item Démontrer que le volume de pierre de la fontaine est 36~dm$^3$.
\end{myenumerate}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B }}
\end{center}
On s'intéresse ici au cas où les faces latérales de $TABCD$ sont des triangles équilatéraux.
\begin{myenumerate}
\item Donner la valeur de $AT$.
\item Dans le triangle $ABC$, calculer $AC$. On donnera la réponse sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ et $b$ entiers et $b$ le plus petit possible.
\item En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, démontrer que le triangle $ACT$ est rectangle.
\end{myenumerate}
}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie C }}
\end{center}
\par\compo{6}{paris2000}{1}{Dans cette partie, $OT=x$.
\begin{myenumerate}
\item Quelles sont les valeurs de $x$ possibles ?
\item Exprimer le volume de pierre de la fontaine en fonction de $x$.
\item Représenter la fonction $f : x \longmapsto 108-12x$ sur la feuille de papier millimétré.
\item Retrouver, à l'aide de tracés en pointillés sur le graphique, le résultat de la partie A.2.
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $x$ pour que le volume de pierre de la fontaine soit 80~dm$^3$.
  \item Trouver la valeur exacte de $x$ en résolvant l'équation $108-12x=80$.
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}
}