%@metapost:caen2000.mp %@Titre: Caen -- 2000 \par\compo{2}{caen2000}{1}{$RKL$ est un triangle rectangle en $R$, avec $RK=6$~cm et $RL=9$~cm.\\$M$ est un point quelconque du côté $[RK]$. On pose $RM=x$ ($x$ en centimètres). $P$ est le point du segment $[RL]$ tel que $RP=RM=x$. \par On place alors le point $N$ pour que $RMNP$ soit un carré. } \begin{myenumerate} \item Dans cette question, $x=2$. On obtient la figure ci-dessus ; on remarque que le point $N$ se trouve à l'intérieur du triangle $RKL$. \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle $RKL$. \item Calculer l'aire $A_1$ du carré $RMNP$.\\Calculer l'aire $B_1$ du triangle $KMN$.\\Calculer l'aire $C_1$ du triangle $NPL$.\\Calculer $A_1+B_1+C_1$. Vérifier que l'aire du quadrilatère $RKNL$ est inférieure à l'aire du triangle $RKL$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $x=5$. \begin{enumerate} \item Faire une figure précise. \item Où se trouve maintenant le point $N$ par rapport au triangle $RKL$ ? \item On appelle maintenant$A_2$ l'aire du carré $RMNP$, $B_2$ l'aire du triangle $KMN$ et $C_2$ l'aire du triangle $NPL$.\\ Calculer ces trois aires et vérifier que l'aire de $RKNL$ est supérieure à celle du triangle $RKL$. \end{enumerate} \item On prend maintenant $x$ quelconque. \begin{enumerate} \item Calculer l'aire $A_3$ du carré $RMNP$ en fonction de $x$. Calculer l'aire $B_3$ du triangle $KMN$ en fonction de $x$. Calculer l'aire $C_3$ du triangle $NPL$ en fonction de $x$. \item Montrer que $A_3+B_3+C_3=\dfrac{15x}{2}$. \item On cherche s'il existe une valeur de $x$ pour laquelle le point $N$ se trouve sur le segment $[KL]$. Pour cela, résoudre l'équation obtenue en écrivant : $A_3+B_3+C_3=$ aire du triangle $RKL$. \\Conclure. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans un repère orthogonal $(O;I,J)$, représenter la fonction $x \longmapsto \dfrac{15x}{2}$ pour $x$ compris entre 0 et 6. On prendra : \begin{itemize} \item en abscisses : 5~cm pour 3 unités ; \item en ordonnées : 1~cm pour 3 unités. \end{itemize} \item Résoudre graphiquement l'équation $\dfrac{15}{2}x=27$. \\Commenter. \end{enumerate} \end{myenumerate}