%@Titre: Paris (Sept.) -- 1999 Tracer un segment $[BC]$ de longueur 6~cm et construire sa médiatrice $(\Delta)$. $(\Delta)$ coupe $[BC]$ en $H$. Soit $A$ un point de $(\Delta)$ tel que $HA=4$~cm. \begin{myenumerate} \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier la réponse. \item Montrer que $AB=5$~cm. \item Soit $E$ le point de $[BC]$ tel que $BE=2$~cm. La droite $(d)$ passant par $E$ et parallèle à $(\Delta)$ coupe $[AB]$ en $F$. Montrer que $\dfrac{BF}{BA}=\dfrac23$. En déduire la valeur exacte de $BF$. \item Soit $I$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABH$. Soit $J$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ACH$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles. \item Calculer $IJ$. \end{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère $AIHJ$ ? Justifier la réponse. \end{myenumerate}