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%@metapost:clermont1998.mp
%@Titre: Clermont -- 1998
\par\compo{3}{clermont1998}{1}{L'unité de longueur est le centimètre
et l'unité d'aire est le cm$^2$.\par Sur la figure ci-dessous, $AFET$
est un rectangle et $ETC$ un triangle rectangle en $T$.\par On donne
les longueurs $TC=5$; $ET=6$ et $EF=3$.\par Le point $M$ peut se
déplacer sur le segment $[TE]$, et la longueur $TM$ est désignée par
$x$.}
\paragraph{Première partie}
Dans cette partie, on choisit $x=2$.
\begin{myenumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la longueur $CM$, puis sa valeur
arrondie au dixième.
\item Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle
$\widehat{TCM}$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{TOM}$
arrondie au degré.
\item Calculer l'aire ${\cal A}_1$ du triangle $TCM$ et l'aire ${\cal
A}_2$ du triangle $MEF$.
\end{myenumerate}
\paragraph{Deuxième partie} Dans cette partie, le point $M$ peut se
déplacer librement sur le segment $[TE]$.
\begin{myenumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$?
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire ${\cal A}_1$ du triangle
$TCM$.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur $ME$ en fonction de $x$.
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire ${\cal A}_2$ du triangle
$MEF$ et l'écrire sous la forme $ax+b$, $a$ et $b$ étant deux nombres
que l'on déterminera.
\end{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire ${\cal A}_2$ est-elle
strictement supérieure à l'aire ${\cal A}_1$ ?
\end{myenumerate}
\paragraph{Troisième partie}
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $(d_1)$ d'équation $y=\dfrac52x$.
\item Tracer la droite $(d_2)$ d'équation $y=-\dfrac32x+9$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection
$S$ des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
\item En déduire, sans nouveau calcul, pour quelle valeur de $x$ les
triangles $TCM$ et $MEF$ de la deuxième partie ont la même
aire. Quelle est alors la valeur commune de cette aire ?
\end{enumerate}
\item Utiliser le graphique pour déterminer avec la meilleure
précision possible les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire ${\cal
A}_2$ du triangle $MEF$ est supérieure ou égale à 3 (faire apparaître
les tracés ayant permis de répondre).
\end{myenumerate}