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Fichier TeX
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%@metapost:aix1997.mp
%@Titre: Aix -- 1997
{\em Dans tout le problème, l'unité est le mètre}.
$$\begin{tabular}{cc}
\includegraphics{aix1997.1}&\includegraphics{aix1997.2}\\
Figure 1&Figure 2\\
\end{tabular}
$$
\begin{myenumerate}
\item Un moulin à vent est constitué d'un cylindre surmonté d'un cône de révolution (figure 1).
\par Le cylindre et le cône ont la même hauteur $h$ et une base commune de centre $O$ et de rayon $R$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer le volume du cylindre et du cône en fonction de $R$ et $h$.
\item En déduire que le volume du moulin est égal à $\dfrac{4\pi R^2h}{3}$.
\item On donne $R=5$ et $h=3$.
\par Calculer la valeur arrondie à 1~m$^3$ près de ce volume.
\end{enumerate}
\item Les ailes du moulin sont représentées par la région grisée (figure 2). $ABCD$ est un carré de centre $O$ et de 12 mètres de côté. Les triangles $OMN$, $OPQ$, $ORS$ et $OUT$ sont isocèles en $O$. On pose $MN=x$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle $OMN$. En déduire que l'aire des ailes du moulin est égale à $144-2x$.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire des ailes est égale à 36~m$^2$.
\item On suppose que $x=9$.
\begin{itemize}
\item Calculer $OM$.
\item Montrer que le périmètre des ailes du moulin est égal à 72~m.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $x=9$.
\par On a réalisé une maquette de ce moulin au $1/20$. Calculer :
\begin{enumerate}
\item Le périmètre des ailes de la maquette.
\item L'aire des ailes de la maquette.
\item Le volume de la maquette du moulin, on utilisera le résultat du 1.c. et on donnera la réponse en m$^3$ arrondie au millième.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}