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%@metapost:clermont1996.mp
%@Titre: Clermont -- 1996
L'unité de longueur est le centimètre.
\paragraph{Première partie} On considère un triangle isocèle $SBC$ tel que $SB=SC=5$ et $BC=6$. La hauteur issue de $S$ coupe le segment $[BC]$ en $I$.
\begin{myenumerate}
\item Faire une figure que l'on complétera dans la question 4.
\item Démontrer que $SI=4$.
\item Calculer l'aire, en cm$^2$, du triangle $SBC$.
\item On note $I'$ le point du segment $[SI]$ tel que $SI'=\dfrac14SI$. Par $I'$, on trace la parallèle à la droite $(BC)$ ; elle coupe les droites $(SB)$ et $(SC)$ respectivement en $B'$ et $C'$. Le triangle $SB'C'$ est donc une réduction du triangle $SBC$.
\begin{enumerate}
\item Préciser le rapport de réduction des longueurs. (On donnera le résultat sans explication.)
\item En déduire l'aire, en cm$^2$, du triangle $SB'C'$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
\paragraph{Deuxième partie}\subitem{}
\par\compo{3}{clermont1996}{1}{On considère une pyramide régulière $SABCD$ de sommet $S$ et à base carrée telle que $AB=6$ et $SB=5$.
\par La hauteur de la pyramide est $[SH]$. On fera les deux figures demandées dans cette partie sur une même feuille de papier millimétré.
}
\begin{myenumerate}
\item Tracer, en vraie grandeur, la base $ABCD$ de la pyramide et placer précisément le point $H$ sur le dessin.
\item Tracer, en vraie grandeur (sans calculer $HB$ mais en utilisant la figure précédente), le triangle $SHB$ rectangle en $H$.
\item Quelle est la nature du triangle $SBC$ ? (On précisera les longueurs de ses côtés.)
\item\subitem{}\par
\par\compo{4}{clermont1996}{1}{ On note $I$ le pied de la hauteur issue de $S$ du triangle $SBC$ et $H'$ le point du segment $[SH]$ tel que $SH'=\dfrac14SH$. On note $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, $I'$ les points d'intersection des droites $(SA)$, $(SB)$, $(SC)$, $(SD)$ et $(SI)$ avec le plan passant par $H'$ et parallèle au plan de la base $ABCD$ de la pyramide.}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $A'B'C'D'$ ? (On précisera les longueurs de ses côtés.)
\item Le triangle $SBC$ est le triangle décrit dans la première partie et on a $SI'=\dfrac14SI$.\par Calculer, en utilisant les résultats de la première partie, l'aire, en cm$^2$, du trapèze $BB'C'C$.
\item En déduire l'aire latérale, en cm$^2$, de la partie tronquée de la pyramide comprise entre les plans parallèles $ABCD$ et $A'B'C'D'$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}