%@metapost:gpeestsep20041.mp
%@Titre: Groupe Est (Sept.) -- 2004
Monsieur Jean possède un terrain qu'il souhaite partager en deux lots de même aire. Ce terrain a la forme d'un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=50$~m et $AC=80$~m.
\par\compo{2}{gpeest2004}{1}{
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle $ABC$.
\item En déduire que l'aire de chaque lot doit être de 1\,000~m$^2$.
\end{enumerate}
\item Dans un premier temps, il pense faire deux lots ayant la forme de deux triangles $AMC$ et $BMC$ comme indiqué sur la figure  ci-contre.\\
On pose $AM=x$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle $AMC$.
\item En déduire que l'aire du triangle $BMC$ est égale à $2\,000-40x$.
\item Déterminer $x$ pour que les aires des deux triangles $AMC$ et $BMC$ soient égales.
\item Quelle est alors la position du point $M$ sur le segment $[AB]$ ?
\end{enumerate}
\end{myenumerate}}
\begin{myenumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item On considère les deux fonctions affines $f$ et $g$ définies par
\[f(x)=40x\qquad\mbox{et}\qquad g(x)=2\,000-40x\]
Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal :
\begin{itemize}
\item l'origine sera placée en bas à gauche,
\item sur l'axe des abscisses, on prendra 1~cm pour 5 unités (1~cm pour 5~m),
\item sur l'axe des ordonnées, on prendra 1~cm pour 100 unités (1~cm pour 100~m$^2$).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, représenter graphiquement les fonctions affines $f$ et $g$ pour $0\leqslant x\leqslant50$.
\item En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question \textbf{2. c.}.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
\par\compo{3}{gpeestsep2004}{1}{
\begin{myenumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Finalement, Monsieur Jean se décide à partager son terrain en un lot triangulaire $AMN$ et un lot ayant la forme d'un trapèze $BMNC$ comme indiqué sur la figure ci-contre avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$.\\On pose $AM=x$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant la propriété de Thalès, exprimer $AN$ en fonction de $x$.
\item En déduire que l'aire du triangle $AMN$ est égale à $\dfrac45x^2$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}}
\begin{myenumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item Le graphique suivant représente l'aire en m$^2$ du triangle $AMN$ exprimée en fonction de $x$. En utilisant ce graphique, déterminer $x$, à un mètre près, pour que les aires des deux lots $AMN$ et $BMNC$ soient égales.
\end{myenumerate}