%@metapost:groupeouest2003.mp
%@Titre: Groupe Ouest -- 2003
\par\compo{2}{groupeouest2003}{1}{
On donne :
\begin{itemize}
\item un cercle $\cal{(C)}$ de centre $O$ et de rayon 6~cm;
\item un diamètre $[AB]$ de ce cercle $\cal{(C)}$;
\item le point $N$ du segment $[OB]$ tel que $BN=4$~cm;
\item le point $M$ situé à 3,2~cm de $B$ et tel que le triangle $BMN$ est rectangle en $M$.
\end{itemize} 
}
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du segment $[MN]$.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{MBN}$ (arrondir à un degré près). La droite $(BM)$ recoupe le cercle $\cal{(C)}$ en $P$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle $BPA$ est rectangle en $P$.
\item En déduire que les droites $(PA)$ et $(MN)$ sont parallèles.
\end{enumerate} 
\item On sait maintenant que le triangle $BPA$ est un agrandissement du triangle $BMN$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient d'agrandissement.
\item Calculer $BP$.
\item Calculer l'aire du triangle $BMN$ et en déduire l'aire du triangle $BPA$.
\end{enumerate}
\item Soit $E$ le milieu de $[BN]$.

Démontrer que les droites $(PO)$ et $(ME)$ sont parallèles.
\item La droite $(PO)$ recoupe le cercle $\cal{(C)}$ en $K$ et la droite $(PN)$ coupe la droite $(BK)$ en $I$.

On sait que lorsqu'un point appartient à une médiane et est situé aux deux tiers de cette médiane en partant du sommet, alors ce point est le centre de gravité du triangle.

\'Ecrire le rapport $\dfrac{BN}{BO}$ sous forme d'une fraction irréductible, puis démontrer que $I$ est le milieu du segment $[BK]$.
\end{myenumerate}